LES POINTS DE LAGRANGE
par Jean Pierre MARTIN
http://www.planetastronomy.com
DES
RAPPELS DE PHYSIQUE INDISPENSABLES
Soit un système où un corps tourne autour d'un autre beaucoup plus gros
(par exemple, la Terre autour du Soleil ou la Lune autour de la terre etc..),
on s'aperçoit qu'il existe 5 positions dans cet ensemble où un troisième corps
(un satellite, des astéroïdes, etc..) peut résider de façon fixe stable ou
instable. Pour calculer ces points nous avons besoin de quelques rappels
mathématiques et physiques :
* GRAVITÉ, LOI D'ATTRACTION UNIVERSELLE
Deux
corps situés à une distance d l'un de l'autre sont attirés par une Force F qui est
proportionnelle à leurs masses et inversement proportionnelle au carré de leur
distance. C'est une force UNIVERSELLE, qui ne peut pas être annulée ni masquée
et qui agit à distance. À chaque instant nous attirons par exemple l'étoile
Véga et elle nous attire de la même valeur, bien entendu le fait que le carré
de la distance intervienne, fait que plus les corps sont proches, plus les
forces sont à prendre en compte. On peut écrire cette formule de la façon
suivante
Avec : M et M' les masses respectives et d la distance. G est une constante
appelée constante de la gravitation universelle elle vaut : 6,67 10-11 Nm2kg-2
* LOIS
DE LA MÉCANIQUE DE NEWTON :
Première Loi : En l'absence de Forces agissant sur lui, tout corps est soit
au repos soit se déplace à vitesse constante en ligne droite.
Deuxième Loi : Quand une force est appliquée à un corps, il s'accélère dans la même
direction et cette accélération est proportionnelle à la Force et inversement
proportionnelle à sa masse :
Rappel : sur Terre Γ est égale à g (accélération de la pesanteur) = 9,8
m/s/s
Troisième Loi : Toute action entraîne une réaction égale et opposée.
* FORCE
CENTRIFUGE/CENTRIPÈTE : mouvement circulaire
Soit un
mobile (une planète, un satellite) se déplaçant sur un cercle de centre O (le
soleil ou la Terre par exemple), par définition l'arc de cercle s parcouru est
lié au Rayon r et à l'angle intercepté θ par la
relation :
s = r. θ avec θ en
RADIANS,
(par extension, pour θ=2Π on a : longueur de la circonférence = 2 Πr)
Par définition, la vitesse tangentielle du mobile sur sa trajectoire est
vitesse = dérivée du déplacement par rapport au temps :
v = Δs/ Δt
mais sachant que s est lié à l'angle θ , on a
:
Δs = r Δθ
On obtient v= r Δθ/ Δt or à la limite, quand Δt tend
vers 0, le rapport représente la VITESSE ANGULAIRE ω du
mobile (en Rd/sec), d'où la formule liant la vitesse angulaire ω à la
vitesse tangentielle par la formule :
v = r ω
Vous avez tous compris que la
vitesse angulaire correspondait soit à la période de rotation d'une planète
soit d'un satellite, sauf qu'elle est exprimée avec différentes unités.
Revenons à notre mobile (notre planète), ce point tourne par exemple à vitesse
ANGULAIRE constante (mais le vecteur vitesse, constant en valeur absolue, ne
l'est pas en direction, sa direction change à tout moment), ce point pour
rester sur sa trajectoire est donc soumis à une ACCÉLÉRATION (sinon 1ère
loi de Newton, il s'en irait en ligne droite), calculons cette accélération qui
est forcément dirigée vers le centre (centripète) :
Le triangle formé par les
vecteurs vitesse en A et B et Δv et le triangle formé par O , A et B sont
semblables et isocèles évidemment, donc on peut dire que (Thalès) :
Or par définition, l'accélération est la dérivée de la vitesse et est
perpendiculaire au vecteur vitesse soit
Γ = Δv/Δt
En remplaçant Δv par sa valeur, l'accélération est donnée par la formule:
on reconnaît la
valeur de v dans Δs/Δt et la formule de l'accélération centripète devient :
Γ = v2/r = ω2 r
Le mobile est donc soumis à une
force (2ème loi de Newton) F telle que F = m Γ soit :
F = m v2/r = mω2r
Bon nous avons tous les outils
maintenant pour étudier les points de Lagrange.
LES
POINTS DE LAGRANGE CALCUL
CE NE SONT PAS COMME ON CROIT LES POINTS OU L'ATTRACTION D'UN CORPS (SOLEIL
PAR EXEMPLE) CONTREBALANCE L'ATTRACTION DE L'AUTRE (TERRE PAR EXEMPLE), car on ne
peut pas rester ainsi dans l'espace sans "bouger", tout corps est
soumis à des forces et se trouve donc sur une trajectoire autour du soleil
(dans notre système solaire), il est donc AUSSI SOUMIS À UNE FORCE CENTRIFUGE.
Si l'on considère deux corps de très grande masse (Terre et Soleil par
exemple), il existe des positions privilégiées pour un troisième corps de masse
négligeable (d'où le nom de problème de trois corps, three body problem en
anglais).
Ces points découverts par notre ami Lagrange, sont des points qui tournent donc
à la MÊME VITESSE QUE LE CORPS TOURNANT AUTOUR DU CORPS CENTRAL (La terre par
exemple), et qui sont FIXES par rapport à cet ensemble
Seulement il y a un problème, les lois de la mécanique céleste (lois de Kepler)
imposent la période de rotation quand on est à une certaine distance du centre
(soleil), c'est la fameuse loi T2/a3 = constante. Donc un
corps (satellite, astéroïde..) ne pourrait pas se trouver sur une orbite
différente de la Terre par exemple et avoir une période de 1 an. Et bien ce
n'est pas tout à fait exact, c'est ce que Lagrange a prouvé. (voir dessin)
En effet si ce petit corps est situé suffisamment près de la Terre,
l'attraction terrestre contrebalance en partie l'attraction du soleil et il lui
faut moins de vitesse pour rester sur une orbite qui fait un an de période,
donc synchrone avec la terre..
Les points de Lagrange sont donc les points où l'ATTRACTION SOLAIRE ET
L'ATTRACTION TERRESTRE SONT EXACTEMENT COMPENSÉES PAR LA FORCE CENTRIFUGE SUR
ORBITE.
CES POINTS SONT DONC FIXES PAR RAPPORT A L'ENSEMBLE M (Soleil par exemple) ET m
(Terre par exemple), les dénominations L1 à L5 sont classiques..
Les points de Lagrange sont donc des endroits dans l'espace où un troisième
corps comme un satellite peut rester fixe par rapport aux deux autres, ces
points sont importants car ils nécessitent souvent peu de carburant pour rester
en place (les corrections de trajectoires sont minimes). De tous ces points, il
y en a 5 en tout, seuls L4 et L5 sont stables, ce qui veut dire que la matière
a tendance à s'accumuler à ces endroits. Les autres sont instables, c'est à
dire qu'il faut très peu de chose pour qu'ils s'éloignent de ces positions.
(d'après cours astro Nasa du Goddard Spaceflight Center)
POINTS DE LAGRANGE
MÉNAGE À TROIS
Le
satellite SOHO est au point L1 du système Soleil-Terre, essayons de déterminer
sa position.
Quelles sont les forces agissant sur un corps situé en L1 :
*** Attraction du Soleil Fs
*** Attraction de la Terre Ft
*** Force centrifuge autour du soleil Fc'
on a en ce point L1 : (ce qui éloigne : Fc et Ft, ce qui attire Fs)
Fs = Fc
+ Ft
avec M= masse soleil m= masse
terre μ= masse (petite) satellite R = rayon orbite terre = 1UA et r = distance
de L1 à la Terre (<< R), nous avons donc d'après précédemment :
et
Nous avons donc en simplifiant :
or en ce point la période de
rotation T est ÉGALE à celle de la
Terre (1 an) puisque fixe par rapport à celle-ci, mais si on considère la Terre
seule, elle est en équilibre entre l'attraction solaire et la force centrifuge
de la terre sur son orbite, on peut donc écrire, si T est aussi la période de
rotation de la terre (1 an) :
on peut donc en remplaçant dans la formule plus haut
:
posons pour simplifier : y =
m/M (très petit) et z= r/R (petit)
et en sachant que 1/(1-z)3 ~ 1
+ 3z l'équation se simplifie
puissamment en :
3 z3 = y
soit : 3 (r/R)3 =
m/M
Dans le cas du système Terre-Soleil :
Le soleil est 330.000 fois plus lourd que la Terre (m/M = 3 10-6, on en déduit que le rapport
r/R vaut approximativement : 1% soit la distance r du point de Lagrange L1 de
la terre est à 1% de la distance Terre-Soleil soit r = 1,5 Million de Km de la Terre
On pourrait aussi calculer la distance de L2 (où Fs = Ft + Fc) qui est
symétrique par rapport à m (la Terre) donc aussi à 1,5 Mkm de celle-ci, Tiens
puisque l'on parle de L2, il ne vous a pas échappé que le satellite WMAP
(Wilkinson Microwave Anisotropic Probe) lancé le 30 Juin 2001 va se mettre en
orbite autour de L2 afin d'être le moins perturbé, ce sera aussi le cas du
télescope spatial remplaçant Hubble. On peut aussi calculer les autres
positions.
On s'aperçoit que les seuls points stables L4 et L5 sont à 60 degrés en avant
et en arrière de l'orbite de la Terre (où il y a d'ailleurs un amas
d'astéroïdes)
(NASA-ESA)
SOHO AND THE TWIN
COMETS IN 1998 (ESA-NASA)
AUTRES
EXEMPLES DANS LE SYSTÈME SOLAIRE
Mais il
y a des exemples "naturels" dans le système solaire, il y a des
endroits où des astéroïdes s'amassent donc en position stable c'est à dire en
L4 et L5. Voyons voir lesquels.
Le premier exemple qui vient à l'esprit est Jupiter, en effet c'est la plus
grande planète de notre système, elle doit donc jouer un certain rôle dans ces
histoires d'équilibre d'attractions. En effet sur l'orbite de Jupiter on trouve
à L4 et L5 (60degré en avant et en arrière) les astéroïdes appelés les
"Troyens". De même aux même points du système terre-lune-soleil en L4
et L5 on a détecté une anomalie de concentration en astéroïdes.
On a découvert aussi un "Troyen" pour Mars : l'astéroïde 5261 Eureka;
Saturne possède de nombreux satellites (30) dont Dione et 60 degrés en avant de
Dione il y a un petit bout de roche qui s'appelle Hélène ,etc..
On pourrait trouver des amas de matières à tous les points de Lagrange stables
des plus importantes planètes et aussi des systèmes solaires et galaxies. Si on
en n'a pas trouvé encore c'est que la résolution des instruments n'est pas
suffisante.
MAIS
QUI ÉTAIT DONC CE MONSIEUR LAGRANGE ???
Et
d'abord qui était ce Sieur Joseph-Louis Lagrange, né en 1736 et mort en 1813,
et qui survécut donc à la Révolution Française. N'en déplaise aux Français,
c'était un Italien, né à Turin (Guiseppe Lodovico Lagrangia) d'une famille
modeste de Savoie, très jeune il s'intéressait aux œuvres de Halley et eut
beaucoup de contacts avec le mathématicien Allemand Euler, qui lui proposa
d'ailleurs un poste à Berlin, et à l'age de 20 ans (!) Il est élu à l'Académie
de Berlin, puis devint membre de l'Académie des Sciences de Turin. Lagrange,
oui car il préférait se faire appeler par la version française de son nom,
concourt à l'Académie des Sciences de Paris en soumettant sa réponse au
problème posé concernant les librations de la Lune. Il est toujours à Berlin où
il remplace Euler à la chaire de mathématiques à l'age de 30 ans. Il fait ses
plus grandes découvertes mathématiques à Berlin qui vont s'avérer fondamentales
pour cette discipline. Plus âgé (50 ans) il accepte l'offre de Paris et devient
membre de l'Académie des Sciences juste avant la Révolution. Pendant cette
période trouble qu'est la Révolution, tout semble bloqué au point de vue
scientifique, tout… et bien non, pas tout, la Révolution veut faire don au
monde du système métrique et Lagrange devient le responsable de la commission
du système métrique et du système décimal. Il survit pendant la Révolution à la
chasse aux étrangers (il est italien) et il est sauvé en fait par notre célèbre
Lavoisier; il ne peut malheureusement pas lui rendre la monnaie de sa pièce,
Lavoisier est condamné à mort quelques temps après par des révolutionnaires
ignares.
Il devient professeur d'analyse à l'École Polytechnique nouvellement créée.
C'est lui qui introduit les termes "primitive" et "dérivée"
qui seront employés dans le calcul intégral de façon générale. Napoléon le fait
chevalier de la Légion d'Honneur en 1808.
Pendant sa très longue et européenne carrière, il s'est amusé à essayer de
résoudre les problèmes de trois corps qui s'attirent (au sens de Newton bien sur!)
même si il n’a pas découvert lui même ces fameux points qui portent son nom.
Voyons donc cela maintenant.
BIBLIOGRAPHIE
ET SITES WEB
Bibliographie
:
·
N'importe quel
livre de physique de Terminale ou de Math Sup
·
L'astronomie populaire de C. Flammarion (oui je sais ce
n'est pas jeune, moi non plus!)
·
Astronomie Générale de Bakouline et coll. aux Editions de
Moscou : un classique même si vous n'avez pas été au goulag.
·
Exploration of the Solar System par W.J. Kaufmann Mac Millan New York
·
The story of Physics chez Avon Books New York :
l'histoire de la physique et des physiciens en livre de poche
Web
sites (en anglais) :
·
http://www-spof.gsfc.nasa.gov/stargaze/Slagrang.htm
: Le plus complet : de mon ami David Stern de la NASA au Goddard Space Flight
Center dans son cours d'Astro
·
http://solar-center.stanford.edu/FAQ/QL1.html
: de la Stanford University. Théorique
·
http://www.merlyn.demon.co.uk/gravity0.htm
: très théorique et très complet sur gravité et attraction (Lagrange, limite de
Roche etc..)
·
http://sohowww.nascom.nasa.gov : sur
le satellite SOHO
modifié/complété
Oct 2012